폭발적 성장 또는 급격한 감소 — 복리, 인구 증가, 방사성 붕괴의 수학.
지수함수는 변수 x가 지수 위치에 있는 함수로, f(x) = a·bˣ로 나타냅니다. 밑 b는 양수이고 1이 아닌 상수, a ≠ 0입니다.
b > 1이면 지수적 성장 — 처음에는 천천히 증가하다가 엄청나게 빠르게 증가합니다. 0 < b < 1이면 지수적 감소 — 빠르게 감소하며 0에 가까워집니다.
718을 밑으로 하는 f(x) = eˣ입니다. 지수함수는 현재 양에 비례하여 증가하거나 감소하는 모든 과정을 모델링하는 데 필수적입니다.
f(x) = a · bˣ
초기값 — y절편 (x = 0일 때의 값)
밑(base) — 성장/감소 비율 (b > 0, b ≠ 1)
지수 — 입력 변수 (지수함수의 핵심 특징)
정의역
모든 실수: (-∞, +∞)
치역
a > 0이면 (0, +∞) — 절대 0에 도달하지 않음
y절편
(0, a)
수평 점근선
y = 0 (x축)
성장 (b > 1)
증가: x가 커질수록 가파르게 상승
감소 (0 < b < 1)
감소: 0에 가까워지지만 절대 닿지 않음
f(x) = 2ˣ고전 지수 성장: x가 1 증가할 때마다 2배로 증가.
f(x) = eˣ자연 지수함수: 밑이 e ≈ 2.718인 연속 성장.
f(x) = (0.5)ˣ지수 감소: x가 1 증가할 때마다 절반으로 감소.
밑(base)을 바꾸며 성장과 감소가 어떻게 달라지는지 실시간으로 확인
x²와 같은 다항함수는 밑이 변수이고 지수가 상수입니다. 2ˣ와 같은 지수함수는 밑이 상수이고 지수가 변수입니다. x가 커질수록 지수함수는 어떤 다항함수보다 훨씬 빠르게 성장합니다.