指数函数的反函数 — 分贝、地震震级、pH值、压缩巨大数值范围的利器。
对数函数是指数函数的反函数。以 b 为底 x 的对数,记为 log_b(x),回答的是"b的几次方等于x?"的问题。即若 b^y = x,则 log_b(x) = y。最常用的两种对数是常用对数(以10为底的 log(x))和自然对数(以 e 为底的 ln(x))。对数函数的图像是一条在 x = 0 附近快速上升、之后越来越缓慢增长的曲线,是指数函数图像关于直线 y = x 的对称图形。
f(x) = a · log_b(x) + c
竖直方向的拉伸/压缩及反转
对数的底数(b > 0, b ≠ 1)
图像的竖直平移
定义域
(0, +∞) — 仅对正实数有定义
值域
全体实数: (-∞, +∞)
x轴截距
(1, 0) — 对任意底数 log_b(1) = 0
竖直渐近线
x = 0(y轴)
反函数关系
log_b(bˣ) = x 且 b^(log_b x) = x
换底公式
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)
f(x) = log(x)常用对数(底10):log(100) = 2,log(1000) = 3。
f(x) = ln(x)自然对数(底e):ln(e) = 1,ln(e²) = 2。
f(x) = log₂(x)以2为底的对数:log₂(8) = 3,log₂(1024) = 10。
探索不同底数并与指数函数进行比较
对数就是指数。log_b(x) 问的是"b的几次方等于x?"例如 log₂(8) = 3,因为 2³ = 8。它是"逆向求解指数"的工具。