抛物线形曲线 — 抛体运动、最优化和物理学的基础。
二次函数是次数为2的多项式函数,表示为 f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0)。其图像是称为抛物线(parabola)的U形或倒U形曲线。当 a > 0 时抛物线开口向上,当 a < 0 时开口向下。抛物线的最低点或最高点称为顶点(vertex),抛物线关于过顶点的竖直线(对称轴)对称。二次函数是描述众多自然现象和优化问题的基础数学工具。
f(x) = ax² + bx + c
二次项系数 — 决定抛物线的开口方向和宽窄(a ≠ 0)
一次项系数 — 影响对称轴的位置
常数项 — y轴截距(图像与y轴的交点)
定义域
全体实数: (-∞, +∞)
值域
a > 0时 [顶点y值, +∞),a < 0时 (-∞, 顶点y值]
顶点
x = -b/(2a), y = f(-b/(2a))
对称轴
x = -b/(2a)
y轴截距
(0, c)
x轴截距
求根公式: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
f(x) = x²顶点在原点的基本抛物线,开口向上。
f(x) = -x² + 4顶点 (0, 4),开口向下的抛物线。
f(x) = 2(x-1)² - 3顶点式:顶点 (1, -3),竖直方向拉伸。
调节 a、b、c 滑块,实时观察抛物线的变化
当x的最高次数恰好是2时,该函数就是二次函数。标准形式为 f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0)。若 a 为0,则退化为一次函数。