爆発的な増加または急激な減衰 — 複利・人口増加・放射性崩壊の数学。
指数関数は変数 x が指数の位置にある関数で、f(x) = a·bˣ と表されます。底 b は正の定数で1以外、a ≠ 0 です。b > 1のとき指数的増加 — 最初はゆっくり増えてから爆発的に増加します。0 < b < 1のとき指数的減衰 — 急速に減少してゼロに近づきます。最も重要な指数関数は無理数 e ≈ 2.718 を底とする f(x) = eˣ です。指数関数は現在の量に比例して増加または減少するすべての過程をモデル化するのに不可欠です。
f(x) = a · bˣ
初期値 — y切片(x = 0のときの値)
底(base) — 増加/減衰の割合(b > 0, b ≠ 1)
指数 — 入力変数(指数関数の核心)
定義域
すべての実数: (-∞, +∞)
値域
a > 0のとき (0, +∞) — ゼロには絶対に達しない
y切片
(0, a)
水平漸近線
y = 0(x軸)
増加(b > 1)
増加:xが大きくなるにつれて急激に上昇
減衰(0 < b < 1)
減少:ゼロに近づくが絶対に達しない
f(x) = 2ˣ典型的な指数増加:xが1増えるたびに2倍になる。
f(x) = eˣ自然指数関数:底 e ≈ 2.718 の連続増加。
f(x) = (0.5)ˣ指数減衰:xが1増えるたびに半分になる。
底(base)を変えて増加と減衰がどう変わるかリアルタイムで確認しよう
x² のような多項式関数は底が変数で指数が定数です。2ˣ のような指数関数は底が定数で指数が変数です。xが大きくなるにつれて指数関数はどんな多項式よりもはるかに速く増加します。