指数関数の逆関数 — デシベル・地震マグニチュード・pH・巨大な数の圧縮に活用。
対数関数は指数関数の逆関数です。底 b のxの対数、log_b(x) は「bを何乗するとxになるか?」を表します。つまり b^y = x ならば log_b(x) = y です。最もよく使われる2つの対数は常用対数(底10の log(x))と自然対数(底 e の ln(x))です。対数関数のグラフは x = 0 付近で急速に増加し、その後ますます緩やかになる曲線で、指数関数グラフを y = x 直線について対称移動した形です。
f(x) = a · log_b(x) + c
縦方向の伸縮・反転
対数の底(b > 0, b ≠ 1)
グラフの垂直シフト
定義域
(0, +∞) — 正の実数でのみ定義される
値域
すべての実数: (-∞, +∞)
x切片
(1, 0) — log_b(1) = 0(どんな底でも)
垂直漸近線
x = 0(y軸)
逆関数の関係
log_b(bˣ) = x かつ b^(log_b x) = x
底の変換公式
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)
f(x) = log(x)常用対数(底10):log(100) = 2、log(1000) = 3。
f(x) = ln(x)自然対数(底e):ln(e) = 1、ln(e²) = 2。
f(x) = log₂(x)底2の対数:log₂(8) = 3、log₂(1024) = 10。
様々な底を探索して指数関数と比較してみよう
対数は指数のことです。log_b(x) は「b に何乗するとxになるか?」を問います。例えば log₂(8) = 3 の理由は 2³ = 8 だからです。指数計算を「逆から解く」ツールです。