放物線形の曲線 — 放射運動・最適化・物理学の基礎。
二次関数とは、最高次数が2の多項式関数で、f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0)の形で表されます。グラフは放物線(parabola)と呼ばれるU字形または逆U字形の曲線です。a > 0のとき上に開いた放物線、a < 0のとき下に開いた放物線になります。放物線の最低点または最高点を頂点(vertex)と呼び、頂点を通る垂直線(軸)に対して対称です。
f(x) = ax² + bx + c
二次の係数 — 放物線の向きと幅を決定(a ≠ 0)
一次の係数 — 対称軸の位置に影響
定数項 — y切片(グラフがy軸と交わる点)
定義域
すべての実数: (-∞, +∞)
値域
a > 0のとき [頂点のy値, +∞)、a < 0のとき (-∞, 頂点のy値]
頂点
x = -b/(2a), y = f(-b/(2a))
対称軸
x = -b/(2a)
y切片
(0, c)
x切片
解の公式: x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
f(x) = x²頂点が原点の基本放物線、上に開く。
f(x) = -x² + 4頂点 (0, 4)、下に開いた放物線。
f(x) = 2(x-1)² - 3頂点形式:頂点 (1, -3)、縦方向に引き伸ばし。
a, b, c のスライダーを動かして放物線がリアルタイムで変わる様子を見てみよう
xの最高次数がちょうど2だからです。標準形は f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0)です。aが0になると一次関数になります。